Ondas

Ondas y Análisis de Fourier en el ECG

Una onda es una perturbación que se propaga transportando energía sin transportar materia. En el cuerpo humano, el corazón genera ondas eléctricas que podemos medir y descomponer.

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1. La Ecuación de Onda Paso a Paso

Para describir una onda que viaja, necesitamos una función $y(x, t)$ que dependa de la posición ($x$) y del tiempo ($t$).

A. La Oscilación (El origen)

Si algo vibra en un solo punto, usamos: $y(t) = A \sin(\omega t)$

• Donde $A$ es la amplitud y $\omega$ la frecuencia angular ($2\pi f$).

B. La Propagación (El viaje)

Para que la onda se mueva a velocidad $v$, introducimos la posición. La forma estándar de una onda viajera es: $y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$

• $k$ (Número de onda): $2\pi / \lambda$, representa la periodicidad en el espacio.

C. La Ecuación Diferencial

Matemáticamente, para que algo sea una “onda”, debe satisfacer esta ecuación de derivadas parciales: $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$

• Significa que la aceleración temporal de la onda es proporcional a su curvatura espacial.

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2. Propiedades de las Ondas

• Interferencia: Cuando dos ondas se cruzan, sus amplitudes se suman (constructiva) o restan (destructiva).
• Superposición: Una onda compleja es simplemente la suma de muchas ondas simples (senos y cosenos).

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3. Relación: Fourier y el Electrocardiograma (ECG)

El ECG es una señal en el dominio del tiempo que registra la despolarización del corazón. Aunque parece una sola línea, es una mezcla de muchas frecuencias.

¿Cómo se usa la Transformada de Fourier aquí?

1. Filtrado de Ruido: El cuerpo produce señales eléctricas de los músculos (ruido de alta frecuencia) y la respiración (baja frecuencia). Al aplicar Fourier, el médico puede “borrar” esas frecuencias y dejar solo la señal limpia del corazón.
2. Identificación de Patrones: Ciertas arritmias no se ven fácilmente en el tiempo, pero en el dominio de la frecuencia aparecen como picos anómalos.
3. Diferenciación de Señales:
   • ECG: Frecuencias muy bajas ($0.05$ a $150\text{ Hz}$).
   • Voz Humana: $80$ a $255\text{ Hz}$.
   • Radio FM: $\approx 100\text{ MHz}$ ($10^8\text{ Hz}$).
   • WiFi: $2.4\text{ GHz}$ o $5\text{ GHz}$ ($10^9\text{ Hz}$).

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4. Ejemplo: El Espectro del Corazón

Si aplicamos la Transformada de Fourier a un ECG normal:

• Veremos un pico dominante que corresponde a la frecuencia cardíaca (ej. 60-100 lpm).
• Veremos armónicos que definen la forma de las ondas P, QRS y T.
• Si hay interferencia de un cable eléctrico cercano, veríamos un pico molesto exactamente en los 50 o 60 Hz. El equipo de ECG usa Fourier para eliminar ese pico específico sin dañar el resto de la señal.

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5. Resumen de Aplicaciones

Tecnología	Rango de Frecuencia	Uso de Fourier
ECG	$0.5 - 150\text{ Hz}$	Limpiar ruido y diagnosticar arritmias.
Radio AM/FM	$500\text{ kHz} - 108\text{ MHz}$	Sintonizar una estación específica.
WiFi / Bluetooth	$2.4 - 5\text{ GHz}$	Dividir el canal en sub-frecuencias para que muchos dispositivos se conecten.