Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad matemática entre dos expresiones. En lugar de un signo ”=”, usamos:

• < (Menor que)
• > (Mayor que)
• ≤ (Menor o igual que)
• ≥ (Mayor o igual que)

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1. La Regla de Oro: ¿Cuándo se invierte el signo?

Esta es la propiedad más importante y donde la mayoría comete errores.

Regla: Si multiplicas o divides ambos lados de una inecuación por un número negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.

• Ejemplo: $-2x < 10$ Al pasar el $-2$ dividiendo (que es negativo): $x > \frac{10}{-2}$ $x > -5$ (El < se convirtió en >).

¿Por qué sucede esto? Si tenemos $2 < 5$ y multiplicamos por $-1$, nos queda $-2$ y $-5$. En la recta numérica, $-2$ es mayor que $-5$. Por eso debemos girar el signo.

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2. Propiedades Básicas

1. Suma y Resta: Puedes sumar o restar el mismo número en ambos lados y el signo no cambia.
   • Si $x - 3 > 5 \implies x > 8$.
2. Multiplicación/División Positiva: Si el número es positivo, el signo no cambia.
   • Si $2x \le 10 \implies x \le 5$.

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3. Métodos de Resolución

A. Inecuaciones Lineales

Se resuelven igual que una ecuación, despejando la $x$, pero recordando la “Regla de Oro”.

• Ejemplo: $5x - 7 \ge 2x + 8$
  1. Juntamos las $x$: $5x - 2x \ge 8 + 7$
  2. Operamos: $3x \ge 15$
  3. Despejamos: $x \ge 5$

B. Inecuaciones Cuadráticas (Método de los Intervalos o Bolzano)

Cuando tienes una $x^2$, como $x^2 - 9 < 0$.

1. Factorizar: $(x-3)(x+3) < 0$.
2. Hallar puntos críticos: $x=3$ y $x=-3$.
3. Probar intervalos: Ubicamos los puntos en la recta y probamos un número de cada sección para ver si el resultado es positivo o negativo.
4. Elegir solución: Como buscamos < 0, elegimos el intervalo negativo.

[Image: Number line divided into intervals by points -3 and 3 with signs + - +]

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4. Representación de la Solución

Existen tres formas de mostrar el resultado de $x > 5$:

1. Forma de Conjunto: $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 5\}$
2. Forma de Intervalo: $(5, \infty)$
   • Usa paréntesis () para < o > (abierto, no incluye el número).
   • Usa corchetes [] para ≤ o ≥ (cerrado, sí incluye el número).
3. Representación Gráfica: Una flecha en la recta numérica.

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5. Inecuaciones con Valor Absoluto $|x|$

• Si $|x| < a$: El número está “atrapado” entre el negativo y el positivo: $-a < x < a$.
• Si $|x| > a$: El número está en los extremos: $x < -a$ o $x > a$.

Ejemplo: $|x| < 3$ significa que $x$ está entre $-3$ y $3$.