Vectores

Un vector es un segmento de recta orientado que representa una magnitud física. Se define por sus componentes, usualmente $(x, y)$ en 2D o $(x, y, z)$ en 3D.

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1. Definiciones y Propiedades

• Módulo ($|\vec{v}|$): La longitud del vector. Se calcula con Pitágoras: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Dirección: La recta sobre la que yace el vector (el ángulo).
• Sentido: Hacia dónde apunta (indicado por la punta de la flecha).
• Vector Unitario: Un vector con módulo igual a 1. Se obtiene dividiendo al vector por su propio módulo: $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$.

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2. Multiplicación de Vectores

Existen dos formas de multiplicar vectores con resultados y significados físicos totalmente distintos:

A. Producto Escalar (Producto Punto: $\vec{u} \cdot \vec{v}$)

El resultado es un número (escalar). Mide cuánto de un vector apunta en la dirección del otro.

• Fórmula: $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$
• Propiedad: Si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$, los vectores son perpendiculares ($90^\circ$).

B. Producto Vectorial (Producto Cruz: $\vec{u} \times \vec{v}$)

El resultado es un nuevo vector perpendicular al plano formado por los dos originales.

• Cálculo: Se resuelve mediante un determinante con los vectores unitarios $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$.
• Dirección: Se determina con la “Regla de la mano derecha”.

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3. Aplicaciones Geométricas: Áreas y Volúmenes

El producto vectorial tiene propiedades mágicas para calcular geometría en el espacio:

Área de un Paralelogramo

El módulo del producto vectorial entre dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman.

• Fórmula: $Área = |\vec{u} \times \vec{v}|$

[Image showing a parallelogram formed by two vectors u and v with the area highlighted]

Volumen de un Paralelepípedo (Producto Triple Escalar)

Para hallar el volumen de un cuerpo 3D formado por tres vectores ($\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$), usamos el producto mixto.

• Fórmula: $Volumen = | \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) |$
• Cálculo: Es el valor absoluto del determinante de la matriz formada por los tres vectores.

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4. Ejemplo Práctico

Calcula el área del paralelogramo formado por $\vec{u} = (3, 0, 0)$ y $\vec{v} = (0, 2, 0)$.

1. Producto Cruz: $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0)\hat{i} - (0)\hat{j} + (3 \cdot 2 - 0)\hat{k} = (0, 0, 6)$
2. Módulo: $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 6^2} = 6$.
3. Resultado: El área es de 6 unidades cuadradas.