Aproximar Funciones

La aproximación por diferenciales utiliza la recta tangente en un punto conocido $a$ para estimar el valor de una función en un punto cercano $x$. La fórmula fundamental es:

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$

Donde:

• $f(a)$: Valor exacto en el punto fácil de calcular.
• $f'(a)$: La pendiente (derivada) en ese punto.
• $(x - a)$: La distancia o error ($\Delta x$).

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1. Pasos para la Aproximación

Para calcular un valor difícil (como $\sqrt{14}$):

1. Definir la función: $f(x) = \sqrt{x}$.
2. Elegir un punto cercano “fácil” ($a$): Buscamos el cuadrado perfecto más cercano a 14, que es $16$ (o 9, pero 16 está más cerca).
3. Calcular la derivada: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
4. Evaluar en el punto fácil ($a=16$):
   • $f(16) = \sqrt{16} = 4$.
   • $f'(16) = \frac{1}{2\sqrt{16}} = \frac{1}{8} = 0.125$.
5. Calcular la diferencia ($\Delta x$): $x - a = 14 - 16 = -2$.

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2. Ejemplo: Calcular $\sqrt{14}$ con 3 cifras significativas

Aplicamos la fórmula: $f(14) \approx f(16) + f'(16) \cdot (14 - 16)$

1. Sustituir valores: $f(14) \approx 4 + (0.125) \cdot (-2)$
2. Operar: $f(14) \approx 4 - 0.25$ $f(14) \approx 3.75$

Resultado: La aproximación es 3.75. (Nota: El valor real es $\approx 3.741$. Nuestra aproximación tiene un error de apenas el 0.24%).

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3. Cifras Significativas y Error

Al trabajar con aproximaciones, debemos respetar la precisión requerida:

• Cifras significativas: En nuestro resultado 3.75, tenemos tres cifras significativas.
• Error de aproximación: Cuanto más lejos esté $x$ de $a$, mayor será el error, ya que la curva se separa de la recta tangente.

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4. Aplicación en Ingeniería

Este método es la base de:

• Análisis de errores: Para saber cómo se propaga el error de una medición en un diseño.
• Algoritmos de computación: Muchos procesadores usan métodos de aproximación (como el Método de Newton-Raphson) para resolver raíces y potencias rápidamente.