Derivadas

La Definición Formal de la Derivada

La derivada no es solo una fórmula; es un límite especial que representa la tasa de cambio instantánea. Matemáticamente, nace de intentar calcular la pendiente de una recta en un solo punto.

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1. El Concepto Geométrico: De Secante a Tangente

Si tenemos dos puntos en una curva, $P(x, f(x))$ y $Q(x+h, f(x+h))$, la pendiente de la recta que los une (secante) es: $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Para hallar la pendiente en un solo punto (tangente), hacemos que la distancia entre los puntos ($h$) sea lo más pequeña posible, es decir, que tienda a cero.

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2. La Definición por Límite

La derivada de una función $f(x)$, denotada como $f'(x)$, se define como:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Esta expresión se conoce como el Cociente de Fermat o Cociente Diferencial.

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3. Demostración Práctica: Derivada de $x^2$

Vamos a demostrar por qué la derivada de $f(x) = x^2$ es $2x$ usando la definición:

1. Plantear el límite: $\lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$

2. Desarrollar el binomio: $\lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}$

3. Simplificar términos ($x^2 - x^2 = 0$): $\lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h}$

4. Factorizar $h$ en el numerador: $\lim_{h \to 0} \frac{h(2x + h)}{h}$

5. Eliminar la indeterminación ($h/h = 1$): $\lim_{h \to 0} (2x + h)$

6. Evaluar el límite (hacer $h = 0$): $2x + 0 = 2x$

Resultado: Queda demostrado que $f'(x^2) = 2x$.

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1. Tabla de Derivadas Inmediatas

Función $f(x)$	Derivada $f'(x)$	Notas
$k$ (Constante)	$0$	El cambio de algo fijo es nulo.
$x$	$1$	La pendiente de una identidad es 1.
$x^n$	$n \cdot x^{n-1}$	Regla de la potencia.
$e^x$	$e^x$	Es la única función que es su propia derivada.
$\ln(x)$	$\frac{1}{x}$	Solo para $x > 0$.
$\sin(x)$	$\cos(x)$	La razón de cambio del seno es el coseno.
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	¡Cuidado con el signo negativo!

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2. Reglas de Operación (Álgebra de Derivadas)

Cuando las funciones no están solas, aplicamos estas propiedades:

A. Suma y Resta

La derivada de una suma es la suma de las derivadas. $(f + g)' = f' + g'$

B. Producto (Multiplicación)

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

C. Cociente (División)

$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$

D. Regla de la Cadena

Es vital para funciones compuestas (una función dentro de otra). $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

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3. Relación con la Optimización

Como ya tenemos documentado en el archivo de Optimización, el uso principal de esta tabla es encontrar los Puntos Críticos:

1. Se busca la derivada $f'(x)$ usando esta tabla.
2. Se iguala a cero ($f'(x) = 0$).
3. Los valores de $x$ resultantes nos indican dónde la función alcanza sus picos máximos o valles mínimos.

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4. Aplicación Cinética

Recuerda que estas fórmulas son las que permiten derivar las ecuaciones de movimiento:

• Si la posición es $s(t) = \frac{1}{2}at^2$, al derivar usando la regla de la potencia, obtenemos la velocidad: $v(t) = at$.

• Derivación Implícita

Normalmente, derivamos funciones explícitas como $y = x^2$. Pero a veces, la relación entre $x$ e $y$ está “implícita”, como en: $x^2 + y^2 = 25$

Para hallar la pendiente ($dy/dx$) en estos casos, usamos la derivación implícita.

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1. La Regla de Oro

La clave es recordar que $y$ es una función de $x$ ($y = f(x)$). Por lo tanto, cada vez que derives un término que tenga $y$, debes aplicar la Regla de la Cadena y multiplicar por $y'$ (o $\frac{dy}{dx}$).

• Si derivas $x^2$ respecto a $x$, obtienes $2x$.
• Si derivas $y^2$ respecto a $x$, obtienes $2y \cdot y'$.

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2. Pasos para Derivar Implícitamente

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto a $x$.
2. Seguimiento de $y$: Cada vez que derives $y$, añade un $y'$ al lado.
3. Agrupar: Coloca todos los términos que tengan $y'$ de un lado de la igualdad y los que no del otro.
4. Factorizar: Saca factor común $y'$.
5. Despejar: Deja sola a la $y'$.

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3. Ejemplo Paso a Paso: El Círculo

Hallemos la pendiente de la recta tangente en el círculo $x^2 + y^2 = 25$.

Paso 1: Derivamos todo respecto a $x$ $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$ $2x + 2y \cdot y' = 0$

Paso 2: Despejamos $y'$

1. Movemos el $2x$: $2y \cdot y' = -2x$
2. Pasamos el $2y$ dividiendo: $y' = \frac{-2x}{2y}$
3. Simplificamos: $y' = -\frac{x}{y}$

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4. Ejemplo con Regla del Producto

A veces $x$ e $y$ están multiplicándose, como en $x \cdot y = 10$.

1. Aplicamos regla del producto: $(derivada \, de \, x \cdot y) + (x \cdot derivada \, de \, y) = 0$
2. $(1 \cdot y) + (x \cdot y') = 0$
3. $y + x \cdot y' = 0$
4. Resultado: $y' = -\frac{y}{x}$

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5. Aplicación en Física: Movimiento Relacionado

Este método es el corazón de los problemas de Razones de Cambio Relacionadas.

• Ejemplo: Si una escalera resbala por una pared, la distancia al suelo ($x$) y la altura ($y$) cambian al mismo tiempo. Al derivar implícitamente la ecuación de Pitágoras $x^2 + y^2 = L^2$ respecto al tiempo ($t$), podemos saber qué tan rápido cae la escalera si sabemos qué tan rápido se aleja de la pared.

$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$

Derivación Logarítmica

Cuando tenemos funciones de la forma $y = f(x)^{g(x)}$, las reglas comunes de potencia o de exponencial no funcionan por separado. Necesitamos bajar el exponente usando las propiedades de los logaritmos.

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1. El Proceso Paso a Paso

Para derivar una función complicada $y = f(x)$:

1. Aplicar Logaritmo Natural ($\ln$): Lo aplicamos a ambos lados de la igualdad: $\ln(y) = \ln(f(x))$.
2. Bajar el exponente: Usamos la propiedad $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$.
3. Derivar Implícitamente: Derivamos ambos lados respecto a $x$. Recuerda que la derivada de $\ln(y)$ siempre es $\frac{y'}{y}$.
4. Despejar $y'$: Pasamos la $y$ multiplicando al otro lado.
5. Sustituir $y$: Reemplazamos $y$ por su función original.

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2. Ejemplo Clásico: $y = x^x$

Este es el ejemplo que siempre aparece en los exámenes porque no se puede resolver con la regla de la potencia ($x^n$).

Paso 1: Aplicamos $\ln$ $\ln(y) = \ln(x^x)$

Paso 2: Bajamos la $x$ del exponente $\ln(y) = x \cdot \ln(x)$

Paso 3: Derivamos a ambos lados

• A la izquierda: $\frac{y'}{y}$
• A la derecha (Regla del Producto): $(1 \cdot \ln(x)) + (x \cdot \frac{1}{x}) = \ln(x) + 1$ $\frac{y'}{y} = \ln(x) + 1$

Paso 4: Despejamos $y'$ $y' = y \cdot (\ln(x) + 1)$

Paso 5: Sustituimos $y$ por el valor original ($x^x$) $y' = x^x \cdot (\ln(x) + 1)$

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3. ¿Cuándo usar este método?

Existen dos casos principales donde este truco te salvará la vida:

Caso A: Base y Exponente con variables

Como el ejemplo anterior ($x^x$, $(\sin x)^x$, etc.). Es la única forma de resolverlos.

Caso B: Funciones muy largas (Simplificación)

Si tienes algo como $y = \frac{(x+1)^2 \cdot \sqrt{x-2}}{(x+3)^5}$, derivar eso por la regla del cociente es una pesadilla. Si aplicas logaritmos, las multiplicaciones se vuelven sumas y las potencias pasan a multiplicar: $\ln(y) = 2\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln(x-2) - 5\ln(x+3)$ ¡Ahora derivar es mucho más fácil!

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4. Resumen de Propiedades Clave

Para este método, debes dominar estas 3 reglas de los logaritmos:

1. Producto: $\ln(A \cdot B) = \ln A + \ln B$
2. Cociente: $\ln(A / B) = \ln A - \ln B$
3. Potencia: $\ln(A^n) = n \cdot \ln A$

Análisis de Funciones: Monotonía, Concavidad y Puntos Clave

El uso de la primera y segunda derivada nos permite conocer la “anatomía” de una función sin necesidad de graficar punto por punto.

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1. El Análisis de la Primera Derivada ($f'$)

La primera derivada nos indica la pendiente. Su signo nos dice si la función sube o baja.

A. Monotonía (Crecimiento y Decrecimiento)

• Si $f'(x) > 0$, la función es creciente (sube).
• Si $f'(x) < 0$, la función es decreciente (baja).

B. Puntos Críticos y Extremos Relativos

Los puntos críticos ocurren donde $f'(x) = 0$ (la tangente es horizontal) o donde no existe la derivada.

• Máximo relativo: Si la función pasa de crecer a decrecer (+ a -).
• Mínimo relativo: Si la función pasa de decrecer a crecer (- a +).

[Image: Graph showing intervals of increase/decrease and labeled local maxima and minima]

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2. El Análisis de la Segunda Derivada ($f''$)

La segunda derivada nos indica la curvatura de la función.

A. Concavidad

• Si $f''(x) > 0$, la función es Cóncava hacia arriba (forma de “U” o sonrisa).
• Si $f''(x) < 0$, la función es Cóncava hacia abajo (forma de “n” o tristeza).

B. Puntos de Inflexión

Es el punto exacto donde la función cambia su concavidad (pasa de “U” a “n” o viceversa).

• Se encuentra igualando la segunda derivada a cero: $f''(x) = 0$.

[Image: Visual comparison of concave up vs concave down and the inflection point in between]

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3. Resumen de Criterios

Elemento	Condición	Qué nos dice
Crecimiento	$f'(x) > 0$	La función sube.
Decrecimiento	$f'(x) < 0$	La función baja.
Máximo/Mínimo	$f'(x) = 0$	Posible cima o valle.
Cóncava ($\cup$)	$f''(x) > 0$	Curva abierta hacia arriba.
Convexa ($\cap$)	$f''(x) < 0$	Curva abierta hacia abajo.
Pto. Inflexión	$f''(x) = 0$	Cambio de curvatura.

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4. Ejemplo Práctico: $f(x) = x^3 - 3x$

1. Derivamos: $f'(x) = 3x^2 - 3$.
2. Puntos Críticos ($f'=0$): $3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1, x = -1$.
3. Segunda Derivada: $f''(x) = 6x$.
4. Evaluamos Concavidad:
   • En $x = 1$: $f''(1) = 6$ (> 0). Es un Mínimo (cóncava hacia arriba).
   • En $x = -1$: $f''(-1) = -6$ (< 0). Es un Máximo (cóncava hacia abajo).
5. Punto de Inflexión: $6x = 0 \implies x = 0$. En el origen la curva cambia de forma.

[Image: Complete graph of x^3 - 3x with all points and concavities labeled]

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5. Aplicación: ¿Para qué sirve esto?

En física y economía, esto es vital:

• El punto de inflexión en una curva de contagios indica cuándo la velocidad de propagación empieza a frenarse.
• En optimización, los máximos y mínimos nos dicen el beneficio más alto o el costo más bajo (como ya vimos en tu archivo de optimización).

4. Interpretación de la Notación

Existen diferentes formas de escribir la derivada, todas válidas según el contexto:

• Leibniz: $\frac{dy}{dx}$ (Muy usada en física para indicar “cambio de $y$ respecto a $x$”).
• Lagrange: $f'(x)$ (La más común en cálculo).
• Newton: $\dot{y}$ (Usada principalmente en física para derivadas respecto al tiempo).

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5. ¿Cuándo NO existe la derivada?

Para que una función sea derivable en un punto, el límite debe existir y ser único. La derivada falla en:

1. Puntos angulosos (Picos): Donde los límites laterales son distintos (ej. $|x|$ en $x=0$).
2. Discontinuidades: Si la función está rota, no hay tangente.
3. Tangentes verticales: Donde la pendiente tiende a infinito.

[Image showing non-differentiable points: a cusp, a discontinuity, and a vertical tangent]

Derivación Implícita

La derivación implícita se aplica a funciones donde la variable dependiente $y$ está mezclada con la independiente $x$ (ej. $x^2 + y^2 = 25$).

La clave es recordar la Regla de la Cadena: cada vez que derivamos un término que contiene $y$, debemos multiplicar por $y'$ (o $\frac{dy}{dx}$), porque tratamos a $y$ como una función de $x$ que aún no conocemos.

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1. El Procedimiento Estándar

Para hallar $y'$ en una ecuación implícita, seguimos estos pasos:

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto a $x$.
2. Aplicar la Regla de la Cadena en cada término con $y$.
3. Agrupar todos los términos que tengan $y'$ en un lado de la igualdad.
4. Factorizar $y'$ y despejarlo.

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2. Ejemplo Paso a Paso: La Circunferencia

Hallemos la pendiente de la recta tangente en un punto de la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$.

Paso 1: Derivar respecto a $x$

• La derivada de $x^2$ es $2x$.
• La derivada de $y^2$ es $2y \cdot y'$ (aquí aplicamos la regla de la cadena).
• La derivada de $25$ es $0$.

Ecuación resultante: $2x + 2y \cdot y' = 0$

Paso 2: Despejar $y'$

1. Restamos $2x$: $2y \cdot y' = -2x$
2. Dividimos por $2y$: $y' = \frac{-2x}{2y}$
3. Simplificamos: $y' = -\frac{x}{y}$

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3. Ejemplo Complejo: Regla del Producto

Derivar $x \cdot y = 1$:

1. Aplicamos la regla del producto $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $(1) \cdot y + x \cdot (y') = 0$
2. Despejamos $y'$: $x \cdot y' = -y$ $y' = -\frac{y}{x}$

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4. Aplicación Geométrica: Rectas Tangentes

Si queremos la pendiente en el punto $(3, 4)$ de la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$:

• Usamos nuestra fórmula $y' = -x/y$.
• $m = -3/4$.

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5. Diferencia entre Derivación Explícita e Implícita

Característica	Derivación Explícita	Derivación Implícita
Forma	$y = f(x)$	$F(x, y) = 0$
Facilidad	Directa	Requiere despejar $y'$
Resultado	Solo depende de $x$	Suele depender de $x$ e $y$