Indeterminaciones

Antes de usar L’Hôpital, existen métodos clásicos basados en manipular la expresión para “cancelar” lo que causa el problema.

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1. El Truco del “Uno Inteligente” ($1 = \frac{a}{a}$)

Este es el método más potente. Consiste en multiplicar y dividir por la misma expresión. No cambias el valor del número (porque multiplicas por 1), pero sí cambias su forma.

A. Racionalización (Multiplicar por el Conjugado)

Se usa cuando hay raíces cuadradas que generan $0/0$.

• El truco: Si tienes $(\sqrt{a} - b)$, multiplica y divide por $(\sqrt{a} + b)$.
• Por qué funciona: Usas la diferencia de cuadrados $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ para eliminar la raíz.

Ejemplo: $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$

1. Multiplicamos por $\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}$.
2. Arriba queda: $(\sqrt{x+1})^2 - 1^2 = x+1-1 = x$.
3. La $x$ de arriba se cancela con la de abajo.
4. Resultado: Al evaluar, el límite es $1/2$.

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2. Límites al Infinito ($\frac{\infty}{\infty}$)

Cuando $x$ tiende a infinito, el método normal es dividir todos los términos por la $x$ de mayor potencia.

• Lógica: Sabemos que $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$.
• Regla rápida:
  • Si el grado de arriba es mayor: el resultado es $\infty$.
  • Si el grado de abajo es mayor: el resultado es $0$.
  • Si los grados son iguales: el resultado es el cociente de los coeficientes principales.

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3. Indeterminación $1^\infty$ (El Número $e$)

Cuando un límite tiene la forma $1^\infty$, usamos la definición del número de Euler: $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$

Método de transformación: Si tienes $\lim (f(x))^{g(x)}$, puedes usar la fórmula: $e^{\lim_{x \to a} [g(x) \cdot (f(x) - 1)]}$

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4. Factorización (Para $\frac{0}{0}$ en polinomios)

Si tienes polinomios, la indeterminación ocurre porque arriba y abajo hay un factor común que vale cero.

1. Factorizas (usando Ruffini, trinomio cuadrado perfecto, etc.).
2. Cancelas el factor conflictivo.
3. Evalúas de nuevo.

Ejemplo: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

• Factorizamos arriba: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$.
• Cancelamos $(x-2)$.
• Resultado: $2 + 2 = 4$.

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5. Resumen de Estrategias

Indeterminación	Método Recomendado
$0/0$ (Polinomios)	Factorizar y simplificar.
$0/0$ (Raíces)	Multiplicar por el conjugado.
$\infty/\infty$	Dividir por la mayor potencia de $x$.
$\infty - \infty$	Operar la fracción o usar el conjugado.
$1^\infty$	Transformar a la forma del número $e$.