Limites

Un límite describe el valor al que se aproxima una función $f(x)$ a medida que la variable $x$ se acerca a un valor determinado $a$, sin llegar necesariamente a tocarlo.

Se escribe como: $\lim_{x \to a} f(x) = L$

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1. Definición Intuida y Gráfica

Decimos que el límite existe si, al acercarnos a $a$ por la izquierda ($x \to a^-$) y por la derecha ($x \to a^+$), la función tiende al mismo valor $L$.

• Límites Laterales: Para que el límite general exista, los límites laterales deben ser iguales: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$

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2. Propiedades de los Límites

Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$, se cumple:

1. Suma/Resta: $\lim (f \pm g) = L \pm M$
2. Producto: $\lim (f \cdot g) = L \cdot M$
3. Cociente: $\lim (f / g) = L / M$ (si $M \neq 0$)
4. Potencia: $\lim (f^g) = L^M$
5. Constante: $\lim (k \cdot f) = k \cdot L$

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3. Indeterminaciones

A veces, al evaluar un límite directamente, obtenemos expresiones que no tienen un valor definido. Las más comunes son:

• $\frac{0}{0}$
• $\frac{\infty}{\infty}$
• $\infty - \infty$

¿Cómo resolverlas?

• Factorización: Para eliminar el término que causa el cero en el denominador.
• Racionalización: Si hay raíces cuadradas.
• L’Hôpital: (Si ya sabes derivar) para resolver $0/0$ o $\infty/\infty$.

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4. Límites al Infinito

Estudian el comportamiento de la función cuando $x$ se hace extremadamente grande o pequeño. Estos límites definen las Asíntotas Horizontales.

• Si el grado del numerador es menor al del denominador, el límite es $0$.
• Si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales.

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5. Límites Trigonométricos Notables

Existen límites especiales que son la base para las derivadas de funciones trigonométricas:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x} = 0$

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6. Ejemplo Práctico (Factorización)

Calcula $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

1. Al evaluar directamente: $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$ (Indeterminado).
2. Factorizamos el numerador: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$.
3. Simplificamos: $x + 2$.
4. Evaluamos de nuevo: $2 + 2 = 4$. Resultado: El límite es $4$.

Discontinuidades, Asíntotas y Rectas de la Derivada

Este capítulo conecta el concepto de límite con la forma física de las gráficas y la inclinación de las curvas.

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1. Tipos de Discontinuidad (Saltos)

Una función es continua si puedes dibujarla sin levantar el lápiz. Si no, presenta una discontinuidad:

• Evitable: Existe el límite, pero no coincide con el valor del punto (o el punto no existe). Se ve como un “agujero”.
• Inevitable de Salto Finito: Los límites laterales existen pero son diferentes.
• Inevitable de Salto Infinito: Uno o ambos límites laterales tienden a $\pm \infty$.

[Image showing point, finite jump, and infinite jump discontinuities]

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2. Asíntotas: El Comportamiento Límite

Las asíntotas son rectas a las que la función se acerca infinitamente pero nunca toca (usualmente).

A. Asíntota Vertical (A.V.)

Ocurre en valores de $x$ donde la función explota al infinito.

• Condición: $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$.
• Se encuentran buscando los valores que hacen cero el denominador (y no el numerador).

B. Asíntota Horizontal (A.H.)

Describe qué hace la función cuando $x$ es muy grande.

• Condición: $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = L$.
• Si existe A.H., la recta es $y = L$.

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3. Construcción de Rectas (Secante, Tangente y Normal)

Estas rectas nos permiten estudiar la pendiente de una curva en un punto $P(a, f(a))$.

A. Recta Secante

Corta a la curva en dos puntos. Su pendiente es el cociente incremental: $m_{sec} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

B. Recta Tangente

Toca a la curva en un solo punto. Su pendiente es la derivada en ese punto: $m_t = f'(a)$.

• Ecuación: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

C. Recta Normal

Es la recta perpendicular a la tangente en el punto de contacto.

• Pendiente: Es la inversa negativa de la tangente: $m_n = -\frac{1}{f'(a)}$.
• Ecuación: $y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)}(x - a)$

[Image showing a curve with a tangent line and a perpendicular normal line at a point]

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4. Ejemplo Práctico

Dada $f(x) = x^2$, hallar la recta tangente y normal en $x = 1$.

1. Punto: $f(1) = 1^2 = 1$. Punto $(1, 1)$.
2. Derivada: $f'(x) = 2x$. En el punto: $f'(1) = 2$. (Esta es $m_t$).
3. Recta Tangente: $y - 1 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 1$
4. Recta Normal: $m_n = -1/2$. $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$