Serie y polinomio de Taylor

Las series de potencias nos permiten aproximar funciones mediante polinomios. Cuantos más términos agreguemos, más exacta será nuestra aproximación.

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1. Definición Matemática

Serie de Taylor

Es la expansión de una función $f(x)$ alrededor de un punto $a$: $f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \dots$

Serie de Maclaurin

Es un caso especial de la serie de Taylor donde el punto de aproximación es $a = 0$: $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

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2. La Identidad de Euler: El “Milagro” de Maclaurin

La identidad de Euler, $e^{i\pi} + 1 = 0$, se demuestra expandiendo las series de Maclaurin de $e^x$, $\sin(x)$ y $\cos(x)$.

1. Serie de $e^x$: $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$
2. Sustituyendo $x$ por $iz$: Al elevar la unidad imaginaria $i$ a diferentes potencias, los términos se separan en reales e imaginarios.
3. Resultado: Los términos reales forman la serie del $\cos(z)$ y los imaginarios la del $\sin(z)$. $e^{iz} = \cos(z) + i\sin(z)$

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3. Ejemplo en la Vida Real: Ingeniería Eléctrica (Análisis de AC)

En los sistemas de Corriente Alterna (AC), el voltaje y la corriente oscilan como ondas senoidales.

Problema: Calcular la impedancia en un circuito donde el voltaje es $V(t) = V_0 e^{i\omega t}$.

• Utilizando la expansión de Taylor/Maclaurin, los ingenieros pueden convertir estas funciones exponenciales complejas en fasores.
• Esto permite sumar voltajes y corrientes como si fueran vectores simples en lugar de resolver ecuaciones diferenciales complejas cada vez que se analiza un circuito.
• Uso: Es la base de toda la red eléctrica que alimenta tu casa.

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4. Margen de Error: El Resto de Lagrange

Como no podemos sumar infinitos términos, truncamos la serie. El error cometido se conoce como el Resto de Taylor ($R_n$).

Según el Teorema de Taylor, existe un punto $c$ entre $a$ y $x$ tal que el error es: $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$

Factores que afectan el error:

1. Distancia ($x-a$): Cuanto más lejos estés del punto de aproximación $a$, mayor será el error.
2. Número de términos ($n$): A mayor cantidad de términos, el error disminuye drásticamente debido al factorial en el denominador.
3. Curvatura: Funciones que cambian muy bruscamente requieren más términos para ser precisas.

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5. Tabla de Aproximaciones Comunes ($a=0$)

Función	Aproximación (Polinomio grado 3)
$\sin(x)$	$x - \frac{x^3}{6}$
$\cos(x)$	$1 - \frac{x^2}{2}$
$e^x$	$1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$
$\ln(1+x)$	$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}$