Teoremas de Continuidad y Derivabilidad

Estos teoremas describen el comportamiento de funciones en intervalos cerrados $[a, b]$. Son la base para entender la optimización y el cálculo integral.

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1. Teorema de Bolzano (Existencia de Raíces)

Si una función es continua en $[a, b]$ y toma valores de distinto signo en los extremos, entonces existe al menos un punto donde cruza el eje X.

• Hipótesis: $f(x)$ es continua en $[a, b]$ y $f(a) \cdot f(b) < 0$.
• Tesis: $\exists c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

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2. Teorema del Valor Intermedio

Si una función es continua en $[a, b]$, entonces la función toma todos los valores comprendidos entre $f(a)$ y $f(b)$.

• Concepto: No puedes pasar de una altura de 1 metro a 2 metros sin pasar por 1,5 metros si te mueves de forma continua.

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3. Teorema de Weierstrass (Extremos Absolutos)

Si una función es continua en un intervalo cerrado y acotado $[a, b]$, entonces tiene garantizado un máximo absoluto y un mínimo absoluto.

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4. Teorema de Rolle

Es un caso particular del Teorema del Valor Medio. Si la función empieza y termina a la misma altura, en algún punto la pendiente debe ser cero.

• Hipótesis: 1. $f(x)$ continua en $[a, b]$. 2. $f(x)$ derivable en $(a, b)$. 3. $f(a) = f(b)$.
• Tesis: $\exists c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$.

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5. Teorema del Valor Medio (Lagrange)

Establece que en algún punto del intervalo, la pendiente instantánea (tangente) es igual a la pendiente media (secante) del intervalo.

Demostración

Queremos probar que $\exists c \in (a, b)$ tal que: $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

1. Definimos una función auxiliar $g(x)$ que represente la diferencia entre $f(x)$ y la recta secante que une $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$: $g(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a) \right]$
2. Verificamos Rolle para $g(x)$:
   • $g(a) = f(a) - f(a) = 0$.
   • $g(b) = f(b) - [f(a) + f(b) - f(a)] = 0$.
3. Aplicamos el Teorema de Rolle: Como $g(a) = g(b)$, existe un $c$ tal que $g'(c) = 0$.
4. Derivamos $g(x)$: $g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
5. Igualamos a cero: $0 = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \implies f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ Q.E.D.

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Resumen de Requisitos

Teorema	Requiere Continuidad	Requiere Derivabilidad	Conclusión Principal
Bolzano	Sí	No	Existe una raíz ($f(c)=0$)
Weierstrass	Sí	No	Existen Máximo y Mínimo
Rolle	Sí	Sí	Existe un punto con $f'(c)=0$
Lagrange	Sí	Sí	Pendiente instantánea = Pendiente media