Ecuación Cuadrática

Las raíces cuadradas tienen dos posibles respuestas por ejemplo la raíz de 4 es 2 y -2 seria una solución secundaria.Los antiguos griegos consideraron que, para que un rectángulo sea áureo, la base y la altura deben satisfacer la proporción:

$\frac{\text{base} + \text{altura}}{\text{base}} = \frac{\text{base}}{\text{altura}}$

* 🍃 **¿Cuál de los cuatro rectángulos se aproxima más a un rectángulo áureo?**

La pregunta que surge de lo anterior es, entonces: ¿cuál es la razón exacta en que se encuentran la base y la altura de un rectángulo áureo?

Supongamos que partimos de un rectángulo de base $3$ cm y queremos hallar la altura $x$, de modo tal que el rectángulo resulte ser áureo,

esto es, que se cumpla:

$\frac{3 + x}{3} = \frac{3}{x}$

Multiplicando medios y extremos:

$x(3 + x) = 3 \cdot 3$

$3x + x^2 = 9$

La anterior es una **ecuación cuadrática**. Antes de estudiar cómo resolverla, la escribiremos en la **forma general** de una ecuación cuadrática: $ax^{2} + bx + c = 0$, con $a \neq 0$.

Para eso, pasamos el nueve al lado izquierdo y ordenamos: $x^{2} + 3x - 9 = 0$

En esta ecuación $a = 1$; $b = 3$; $c = -9$

Cuando escribimos una ecuación cuadrática en la forma general, identificamos en ella un *término cuadrático* ($ax^{2}$), un término lineal ($bx$) y un *término independiente o constante* ($c$).

Comenzaremos resolviendo ecuaciones cuadráticas en donde el término lineal es cero. Ejemplo de estas ecuaciones son:

$x^{2} - 16 = 0$; $\quad x^{2} - 12 = 0$; $\quad 5x^{2} - 35 = 0$; $\quad 4x^{2} - 1 = 0$; $\quad x^{2} + 9 = 0$

En la solución de estas ecuaciones tenemos presentes algunos de los procesos vistos anteriormente. Veamos cómo resolverlas:

### EJEMPLO

**1. Resolver la ecuación** $x^{2} - 16 = 0$

**Solución**

* Despejamos $x^{2}$, sumando 16 en ambos lados:

$x^{2} - 16 = 0$

$x^{2} = 16$

* Esta ecuación, traducida verbalmente, nos pregunta por un(os) número(s) que elevado(s) al cuadrado dé (den) 16. Los números son 4 y -4. Este resultado se obtiene sacando raíz cuadrada:

$x^{2} = 16 \quad ; \quad x = \pm\sqrt{16}$

$x = \pm 4$

* Los números reales que satisfacen la ecuación son $x\_{1} = 4$ y $x\_{2} = -4$

La ecuación $ax^{2} + bx + c = 0$ se resuelve utilizando la fórmula:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$