Funciones Trigonométricas

Estas funciones son las herramientas fundamentales para modelar fenómenos periódicos (ondas) y estructuras físicas (cables suspendidos).

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1. Funciones Trigonométricas

Basadas en el Círculo Unitario ($x^2 + y^2 = 1$). Relacionan ángulos con coordenadas.

Definiciones

• Seno: $\sin(x)$

• Coseno: $\cos(x)$

• Tangente: $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Propiedades Clave

• Periodicidad: Se repiten cada $2\pi$ (Seno y Coseno) o $\pi$ (Tangente).
• Paridad:
  • $\cos(-x) = \cos(x)$ (Par)
  • $\sin(-x) = -\sin(x)$ (Impar)
• Identidad Pitagórica: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

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2. Funciones Hiperbólicas

Basadas en una Hipérbola Equilátera ($x^2 - y^2 = 1$). Se definen mediante la función exponencial $e^x$.

Definiciones

• Seno Hiperbólico: $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
• Coseno Hiperbólico: $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$
• Tangente Hiperbólica: $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$

Propiedades Clave

• Identidad Fundamental: $\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1$
• Paridad:
  • $\cosh(-x) = \cosh(x)$ (Par)
  • $\sinh(-x) = -\sinh(x)$ (Impar)

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3. Tabla Comparativa de Derivadas e Integrales

Función	Derivada	Integral
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$-\cos(x) + C$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$\sin(x) + C$
$\sinh(x)$	$\cosh(x)$	$\cosh(x) + C$
$\cosh(x)$	$\sinh(x)$	$\sinh(x) + C$

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4. Ejemplos de Aplicación

Ejemplo 1: Cálculo del Seno Hiperbólico

Si $x = 0$: $\sinh(0) = \frac{e^0 - e^0}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0$

Ejemplo 2: Identidad Pitagórica

Si tenemos $\sin(x) = 0.6$, ¿cuánto vale $\cos(x)$?

1. $(0.6)^2 + \cos^2(x) = 1$
2. $0.36 + \cos^2(x) = 1 \implies \cos^2(x) = 0.64$
3. $\cos(x) = 0.8$

Ejemplo 3: La Catenaria (Física)

Un cable pesado que cuelga entre dos postes (como el tendido eléctrico) no forma una parábola, sino un coseno hiperbólico: $y = a \cdot \cosh\left(\frac{x}{a}\right)$

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5. Relación con los Números Complejos (Fórmula de Euler)

La conexión última entre ambos mundos viene dada por la unidad imaginaria $i$:

• $\cos(x) = \cosh(ix)$
• $\sin(x) = \frac{\sinh(ix)}{i}$