Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. En el mundo de las funciones, representa la relación de proporcionalidad inversa.

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1. Ecuaciones Matemáticas

Forma Canónica (Centrada en el origen)

Dependiendo de hacia dónde abran sus ramas:

• Horizontal: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
• Vertical: $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

Forma General

Se expresa como una ecuación de segundo grado donde los coeficientes de $x^2$ y $y^2$ tienen signos distintos: $Ax^2 - Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

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2. Elementos Clave

• Asíntotas: Son las líneas rectas a las que la hipérbola se acerca infinitamente pero nunca toca. Su ecuación es $y = \pm \frac{b}{a}x$.
• Vértices ($a$): Puntos donde la curva da la vuelta.
• Focos ($c$): Puntos internos que definen la curvatura, donde $c^2 = a^2 + b^2$.

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3. La Hipérbola Equilátera ($xy = k$)

Cuando la hipérbola se rota $45^\circ$, su ecuación se simplifica a la forma de proporcionalidad inversa. Esta es la que más verás en ciencias aplicadas.

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4. Relación con la Ciencia y la Ingeniería

La hipérbola describe perfectamente cualquier fenómeno donde el producto de dos variables es constante ($x \cdot y = k$).

A. Densidad ($d = m/V$)

Para una masa fija, la relación entre densidad y volumen es una hipérbola.

• Si reduces el volumen a la mitad, la densidad se duplica.
• Si el volumen tiende a infinito, la densidad tiende a cero (asíntota).

B. Ley de Ohm y Corriente ($I = V/R$)

Si mantenemos un voltaje ($V$) constante:

• La corriente ($I$) y la resistencia ($R$) tienen una relación hiperbólica.
• A mayor resistencia, menor corriente. La gráfica de $I$ frente a $R$ es una rama de hipérbola.

C. Ley de Boyle-Mariotte ($P \cdot V = k$)

En los gases ideales, a temperatura constante, la presión y el volumen dibujan una hipérbola llamada isoterma.

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5. Propiedades de Reflexión

Al igual que la parábola, la hipérbola tiene propiedades ópticas: un rayo de luz que se dirige hacia un foco, al chocar con la cara convexa de la hipérbola, se refleja hacia el otro foco.

• Uso: Telescopios Cassegrain y sistemas de navegación de largo alcance (LORAN).

• La Parábola: Formas de la Ecuación

La parábola es la representación gráfica de las funciones cuadráticas. Dependiendo de la información que necesitemos (el vértice, las raíces o el corte con el eje Y), podemos expresarla de tres maneras:

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1. Forma General

Es la expresión expandida del polinomio. $y = ax^2 + bx + c$

• $c$: Es la ordenada al origen (punto de corte con el eje $Y$).
• Uso: Útil para identificar rápidamente el coeficiente principal y el término independiente.

2. Forma Canónica

Es la más eficiente para identificar la geometría de la curva y graficar. $y = a(x - h)^2 + k$

• Vértice $V(h, k)$: Es el punto más bajo (mínimo) o más alto (máximo).
• $a$: Determina la apertura; si es positivo abre hacia arriba ($\cup$), si es negativo hacia abajo ($\cap$).

3. Forma Factorizada

Muestra explícitamente los puntos de intersección con el eje horizontal. $y = a(x - x_1)(x - x_2)$

• $x_1, x_2$: Son las raíces o ceros de la función.

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Ejemplos de Conversión

Ejemplo A: De Canónica a General

Dada la función $y = 3(x - 2)^2 + 4$:

1. Desarrollar el binomio: $y = 3(x^2 - 4x + 4) + 4$
2. Distribuir el coeficiente $a$: $y = 3x^2 - 12x + 12 + 4$
3. Resultado (General): $y = 3x^2 - 12x + 16$
   • Corte con eje Y en 16.

Ejemplo B: De General a Canónica (Obtener el Vértice)

Dada la función $y = x^2 - 6x + 5$:

1. Hallar $h$: $h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = 3$
2. Hallar $k$: Evaluamos $f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$
3. Resultado (Canónica): $y = (x - 3)^2 - 4$
   • El vértice se encuentra en el punto $(3, -4)$.

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Relación con la Física

En el tiro parabólico, la forma canónica es sumamente útil porque la coordenada $k$ del vértice nos da directamente la altura máxima alcanzada por el objeto, mientras que $h$ nos indica el tiempo o distancia horizontal en la que ocurre dicha altura.

Transpasos entre Formas de la Parábola

Dominar el cambio entre formas te permite extraer diferentes datos (vértice, raíces o corte con Y) de una misma función según lo necesites.

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1. De Forma Canónica a Forma General

Este es el proceso más sencillo, basado en el desarrollo algebraico.

Procedimiento:

1. Elevar el binomio al cuadrado: $(x - h)^2 = x^2 - 2xh + h^2$.
2. Multiplicar todo por el coeficiente $a$.
3. Sumar el valor de $k$.

Fórmula: $a(x - h)^2 + k \longrightarrow ax^2 + bx + c$

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2. De Forma General a Forma Canónica

Este es el proceso inverso y existen dos caminos:

Camino A: Por Fórmulas (El más rápido)

1. Calculas la $x$ del vértice: $h = -\frac{b}{2a}$.
2. Calculas la $y$ del vértice: $k = f(h)$ (sustituyes $h$ en la $x$ de la general).
3. Escribes la forma canónica manteniendo el mismo valor de $a$.

Camino B: Completando Cuadrados (El más analítico)

Es útil para entender la estructura de la parábola.

• Paso 1: Factorizar $a$ de los términos con $x$.
• Paso 2: Sumar y restar dentro del paréntesis $(\frac{b}{2a})^2$.
• Paso 3: Formar el trinomio cuadrado perfecto.

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3. De Forma General a Forma Factorizada

Se basa en encontrar las raíces ($x_1, x_2$).

Procedimiento:

1. Igualar la función a cero: $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Resolver mediante la Fórmula Cuadrática (Bhaskara): $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
3. Escribir como $y = a(x - x_1)(x - x_2)$.

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4. Resumen de Transpasos

Transformación	Método Principal	Clave
Canónica $\rightarrow$ General	Desarrollo del binomio	Binomio al cuadrado
General $\rightarrow$ Canónica	Vértice $(h, k)$	$h = -b/2a$
General $\rightarrow$ Factorizada	Factorización o Bhaskara	Hallar raíces
Factorizada $\rightarrow$ General	Propiedad Distributiva	Multiplicar binomios

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Ejemplo de transpaso completo

Dada $y = 2x^2 - 8x + 6$:

1. A Factorizada: Raíces son $1$ y $3 \implies y = 2(x-1)(x-3)$.
2. A Canónica: $h = -(-8)/4 = 2$; $k = f(2) = 2(4)-16+6 = -2 \implies y = 2(x-2)^2 - 2$.