Identidades Trigonométricas

Las identidades trigonométricas son igualdades que relacionan las funciones trigonométricas y se cumplen para cualquier valor del ángulo. Son herramientas esenciales para simplificar expresiones y resolver integrales.

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1. Identidades Fundamentales

Pitagóricas

Derivadas directamente del Teorema de Pitágoras en el círculo unitario ($x^2 + y^2 = 1$).

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

De Cociente y Recíprocas

Definen las funciones en términos de Seno y Coseno o como sus inversas.

• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
• $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
• $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$
• $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}$

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2. Tabla Resumen de Identidades (LaTeX)

$$\begin{array}{|l|l|} \hline \mathbf{Categoría} & \mathbf{Identidad} \\ \hline \text{Ángulo Suma} & \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ & \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \hline \text{Ángulo Doble} & \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta \\ & \cos(2\theta) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ \hline \text{Ángulo Medio} & \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \\ & \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \\ \hline \text{Paridad} & \sin(-\theta) = -\sin \theta \\ & \cos(-\theta) = \cos \theta \\ \hline \end{array}$$

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3. Relación con la Geometría

En un triángulo rectángulo, estas identidades permiten relacionar los lados con los ángulos sin necesidad de conocer todas las medidas.

• Seno: Relaciona la altura (cateto opuesto) con la hipotenusa.
• Coseno: Relaciona la base (cateto adyacente) con la hipotenusa.
• Tangente: Relaciona directamente ambos catetos (pendiente).

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4. Aplicación en Cálculo

Estas identidades son el paso previo necesario para resolver:

1. Integrales Trigonométricas: Usando las identidades de ángulo medio para bajar el exponente de $\sin^2 x$ o $\cos^2 x$.
2. Sustitución Trigonométrica: Para eliminar raíces cuadradas transformándolas en un solo término.

Signos de las Funciones Trigonométricas por Cuadrante

El signo de una función trigonométrica depende del cuadrante en el que se encuentre su lado terminal. Esto se debe a que las funciones se definen según las coordenadas $(x, y)$ en el círculo unitario.

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1. Regla de los Signos (Tabla)

Cuadrante	Rango de Ángulos	Funciones Positivas	Explicación ($x, y$)
I	$0^\circ$ a $90^\circ$	Todas ($\sin, \cos, \tan$)	$x$ es (+), $y$ es (+)
II	$90^\circ$ a $180^\circ$	Seno (y $\csc$)	$x$ es (-), $y$ es (+)
III	$180^\circ$ a $270^\circ$	Tangente (y $\cot$)	$x$ es (-), $y$ es (-)
IV	$270^\circ$ a $360^\circ$	Coseno (y $\sec$)	$x$ es (+), $y$ es (-)

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2. Regla Mnemotécnica: “TODOS SIN TA COS”

Para memorizarlo rápidamente, usa la frase siguiendo el orden de los cuadrantes (I, II, III, IV):

1. TODOS: En el 1er cuadrante, Todos son positivos.
2. SIN: En el 2do cuadrante, solo el Seno es positivo.
3. TA: En el 3er cuadrante, solo la Tangente es positiva.
4. COS: En el 4to cuadrante, solo el Coseno es positivo.

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3. ¿Por qué cambian los signos?

Las funciones están ligadas a los ejes del Plano Cartesiano:

• El Seno depende de la ordenada ($y$). Es positivo arriba y negativo abajo.
• El Coseno depende de la abscisa ($x$). Es positivo a la derecha y negativo a la izquierda.
• La Tangente es la división $y/x$. Es positiva cuando $x$ e $y$ tienen el mismo signo (Cuadrantes I y III).

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4. Ejemplo de Aplicación

Si te piden calcular el $\cos(210^\circ)$:

1. Identificar cuadrante: $210^\circ$ está en el III Cuadrante.
2. Verificar signo: En el III, solo la Tangente es positiva, por lo tanto el Coseno debe ser negativo.
3. Reducir al primer cuadrante: $\cos(210^\circ) = -\cos(210^\circ - 180^\circ) = -\cos(30^\circ)$.
4. Resultado: $-\sqrt{3}/2$.