Parábola

Toda función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ representa gráficamente una curva llamada parábola.

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1. Los Componentes Clave

párabola

Para entender la relación entre el álgebra y el dibujo, debemos mirar los coeficientes:

• Concavidad ($a$): * Si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba ($\cup$).
  • Si $a < 0$, la parábola abre hacia abajo ($\cap$).
• Corte con el eje Y ($c$): Es el punto $(0, c)$. Indica dónde la curva cruza el eje vertical.
• Vértice ($V$): Es el punto máximo o mínimo de la parábola.
  • La coordenada $x$ del vértice se halla con: $x_v = -\frac{b}{2a}$.
  • Para hallar $y_v$, simplemente evaluamos la función: $y_v = f(x_v)$.

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2. Las Raíces: El puente con el Eje X

Las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ son los puntos donde la parábola toca o corta el eje $X$. Según el Discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$), tenemos tres escenarios:

1. $\Delta > 0$: La parábola corta al eje $X$ en dos puntos (raíces reales y distintas).
2. $\Delta = 0$: La parábola toca al eje $X$ en un solo punto (el vértice es la única raíz).
3. $\Delta < 0$: La parábola no toca el eje $X$ (raíces complejas/imaginarias).

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3. Formas de la Ecuación

Para estudiar la parábola, podemos escribir su ecuación de tres maneras diferentes:

Forma	Ecuación	Utilidad
Estándar	$f(x) = ax^2 + bx + c$	Ver el corte con el eje $Y$ ($c$).
Factorizada	$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$	Ver las raíces ($x_1, x_2$) rápidamente.
Canónica	$f(x) = a(x - h)^2 + k$	Ver el vértice $(h, k)$ directamente.

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4. Propiedad Óptica y Física

La parábola tiene una propiedad única: todos los rayos que llegan paralelos a su eje de simetría rebotan y pasan por un punto llamado Foco.

• En la vida real: Antenas satelitales, focos de autos y hornos solares.
• En Cinemática: El tiro parabólico. Si lanzas una pelota, su trayectoria sigue una función cuadrática donde $a$ es la gravedad: $y(t) = y_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2$

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5. Relación con las Relaciones de Vieta

Como vimos antes, si conoces el vértice y la apertura, puedes reconstruir la ecuación.

• El eje de simetría de la parábola ($x_v$) está exactamente a la mitad de las dos raíces: $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}$ Esto coincide con la fórmula de Vieta: $x_1 + x_2 = -b/a$.