Números reales

Los números reales incluyen a todos los números que podemos encontrar en la recta numérica. Se dividen en dos grandes grupos según cómo son sus decimales.

1. Números Racionales ( $\mathbb{Q}$ )

Son los que pueden escribirse como una fracción. Su parte decimal es predecible.

A. Decimales Exactos

Tienen una cantidad finita de números después de la coma.

Ejemplo: $1/2 = 0,5$ o $3/4 = 0,75$ .

B. Decimales Periódicos

Tienen números que se repiten infinitamente en un patrón.

Periódicos Puros: Todo lo que sigue a la coma se repite.
- Ejemplo: $1/3 = 0,3333...$ (se escribe $0,\widehat{3}$ ).
Periódicos Mixtos: Tienen algunos números que no se repiten y luego empieza el patrón.
- Ejemplo: $0,1666...$ (se escribe $0,1\widehat{6}$ ).

2. Números Irracionales ( $\mathbb{I}$ )

Estos son los “rebeldes” del grupo. No se pueden escribir como fracción y sus decimales son infinitos y no periódicos (no tienen un patrón).

$\pi$ (Pi): $3,14159265...$ (Relación entre el círculo y su diámetro).
$e$ (Número de Euler): $2,71828182...$ (Base de los logaritmos naturales).
Raíces no exactas: $\sqrt{2} = 1,41421356...$

3. Diferencias Clave: Periódicos vs. No Periódicos

Característica	Decimal Periódico (Racional)	Decimal No Periódico (Irracional)
Patrón	Sí tiene (ej: $0,121212...$ )	No tiene (ej: $0,101001000...$ )
Origen	Viene de una división de enteros.	Viene de raíces o constantes naturales.
Fracción	Se puede convertir a fracción.	Es imposible convertirlo a fracción.

4. Ejemplo de la Vida Real: ¿Por qué importa esto?

Si eres carpintero y quieres medir la diagonal de un cuadrado de 1 metro de lado:

Usas el Teorema de Pitágoras: $1^2 + 1^2 = d^2$ .
El resultado es $\sqrt{2}$ .
El problema: Nunca terminarás de escribir el número exacto en milímetros ( $1,4142...$ ). Por eso, en el mundo real, los ingenieros redondean (usan cifras significativas) para poder trabajar con números irracionales.

5. El Árbol de los Números Reales

Reales ( $\mathbb{R}$ )
- Racionales ( $\mathbb{Q}$ )
  - Enteros ( $\mathbb{Z}$ ): $...-1, 0, 1...$
  - Naturales ( $\mathbb{N}$ ): $1, 2, 3...$
  - Fracciones / Decimales periódicos.
- Irracionales ( $\mathbb{I}$ )
  - Decimales infinitos no periódicos ( $\pi, \sqrt{2}, e$ ).