Regla de tres directa e inversa

La proporcionalidad estudia la relación constante entre dos magnitudes. Dependiendo de cómo cambie una respecto a la otra, tenemos dos tipos principales.

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1. Proporcionalidad Directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una, la otra aumenta en la misma proporción (y viceversa).

• Fórmula: $y = k \cdot x$ (donde $k$ es la constante de proporcionalidad).
• Regla de Tres Directa: Si $a$ produce $b$, entonces $c$ produce $x$. $x = \frac{b \cdot c}{a}$

Gráfica de Proporcionalidad Directa

La representación gráfica es siempre una línea recta que pasa por el origen $(0,0)$. La pendiente de la recta es la constante $k$.

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2. Proporcionalidad Inversa

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una, la otra disminuye en la misma proporción.

• Fórmula: $x \cdot y = k$ o $y = \frac{k}{x}$
• Regla de Tres Inversa: Si $a$ produce $b$, entonces $c$ produce $x$. $x = \frac{a \cdot b}{c}$

Ejemplo clásico: Si 2 obreros tardan 10 horas en hacer un muro, 4 obreros tardarán 5 horas. (A más obreros, menos tiempo).

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3. Conexión Geométrica: La Hipérbola

La función de proporcionalidad inversa $y = \frac{k}{x}$ tiene una gráfica muy característica llamada hipérbola equilátera.

Similitudes con la función $f(x) = \frac{1}{x}$

La gráfica de cualquier proporcionalidad inversa es una versión escalada de la función madre $y = \frac{1}{x}$.

1. Asintótica: La curva se acerca infinitamente a los ejes $x$ e $y$ pero nunca los toca. Esto es lógico: en $y = \frac{k}{x}$, $x$ nunca puede ser 0 porque la división por cero no existe.
2. Decrecimiento: A medida que $x$ crece, $y$ se hace cada vez más pequeño, pero siempre permanece positivo (en el primer cuadrante).
3. Producto Constante: En cualquier punto de la curva, si multiplicas la coordenada $x$ por la $y$, el resultado siempre será la constante $k$.

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Tabla Comparativa

Característica	Proporcionalidad Directa	Proporcionalidad Inversa
Relación	Si $x$ crece, $y$ crece	Si $x$ crece, $y$ decrece
Constante ($k$)	$k = \frac{y}{x}$	$k = x \cdot y$
Gráfica	Línea Recta	Hipérbola
Ejemplo Físico	Ley de Hooke ($F = kx$)	Ley de Boyle ($P = \frac{k}{V}$)

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Ejemplo de Aplicación Química (Ley de Boyle)

En los gases, la presión ($P$) y el volumen ($V$) son inversamente proporcionales a temperatura constante. $P \cdot V = k \implies P = \frac{k}{V}$ Si graficamos la presión contra el volumen, obtendremos una isoterma, que tiene la forma exacta de una hipérbola. La escala de los mapas y dibujos.